20 Решите уравнение13(4-1) = x(x²-8x+16)

Решим уравнение:$$13(4 - x) = x(x^2 - 8x + 16)$$.

Разложим правую часть, обратив внимание, что $$x^2 - 8x + 16$$ - это полный квадрат разности:$$13(4 - x) = x(x - 4)^2$$

Раскроем скобки слева:$$52 - 13x = x(x^2 - 8x + 16)$$ $$52 - 13x = x^3 - 8x^2 + 16x$$

Перенесем все в правую часть:$$x^3 - 8x^2 + 16x + 13x - 52 = 0$$ $$x^3 - 8x^2 + 29x - 52 = 0$$

Заметим, что если x = 4, то:$$4^3 - 8 \cdot 4^2 + 29 \cdot 4 - 52 = 64 - 128 + 116 - 52 = 180 - 180 = 0$$

Значит, x = 4 - корень уравнения. Разделим многочлен $$x^3 - 8x^2 + 29x - 52$$ на $$x - 4$$:

      x^2 - 4x + 13
x - 4 | x^3 - 8x^2 + 29x - 52
      x^3 - 4x^2
      --------------
           -4x^2 + 29x
           -4x^2 + 16x
           --------------
                   13x - 52
                   13x - 52
                   ---------
                         0

Получили: $$(x - 4)(x^2 - 4x + 13) = 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:$$x^2 - 4x + 13 = 0$$

Дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$$

Т.к. дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Единственный корень уравнения: x = 4.

Ответ: 4