1. Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{3}{x-1} - 10 = 0.\)

Решим уравнение: $$ \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{3}{x-1} - 10 = 0. $$

Пусть $$ t = \frac{1}{x-1} $$, тогда уравнение примет вид: $$ t^2 + 3t - 10 = 0 $$.

Решаем квадратное уравнение относительно t: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 $$

Корни уравнения:$$ t_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$$$ t_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$

Возвращаемся к замене:1) $$ \frac{1}{x-1} = 2 $$$$ 1 = 2(x-1) $$$$ 1 = 2x - 2 $$$$ 2x = 3 $$$$ x_1 = \frac{3}{2} = 1.5 $$2) $$ \frac{1}{x-1} = -5 $$$$ 1 = -5(x-1) $$$$ 1 = -5x + 5 $$$$ 5x = 4 $$$$ x_2 = \frac{4}{5} = 0.8 $$

Проверим найденные корни.ОДЗ: $$x
e 1$$Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \( x_1 = 1.5, x_2 = 0.8 \)