1. Решите системы уравнений: {x - y = 4, a) {xy+ y² = 6; xy = 12, 6) {x² + y² = 25.

Решим систему уравнений а)

\[\begin{cases} x - y = 4 \\ xy + y^2 = 6 \end{cases}\] Выразим x через y из первого уравнения: \[x = y + 4\] Подставим это выражение во второе уравнение: \[(y+4)y + y^2 = 6\] \[y^2 + 4y + y^2 = 6\] \[2y^2 + 4y - 6 = 0\] Разделим уравнение на 2: \[y^2 + 2y - 3 = 0\] Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант: \[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\] Корни уравнения: \[y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\] \[y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3\] Теперь найдем соответствующие значения x: \[x_1 = y_1 + 4 = 1 + 4 = 5\] \[x_2 = y_2 + 4 = -3 + 4 = 1\] Таким образом, решения системы уравнений: \[(5, 1), (1, -3)\]

Решим систему уравнений б)

\[\begin{cases} xy = 12 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}\] Выразим x через y из первого уравнения: \[x = \frac{12}{y}\] Подставим это выражение во второе уравнение: \[(\frac{12}{y})^2 + y^2 = 25\] \[\frac{144}{y^2} + y^2 = 25\] Умножим обе части уравнения на y²: \[144 + y^4 = 25y^2\] \[y^4 - 25y^2 + 144 = 0\] Введем замену: z = y²: \[z^2 - 25z + 144 = 0\] Решим квадратное уравнение относительно z. Дискриминант: \[D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49\] Корни уравнения: \[z_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = 16\] \[z_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = 9\] Теперь найдем соответствующие значения y: \[y^2 = 16 \Rightarrow y_1 = 4, y_2 = -4\] \[y^2 = 9 \Rightarrow y_3 = 3, y_4 = -3\] Теперь найдем соответствующие значения x: \[x_1 = \frac{12}{y_1} = \frac{12}{4} = 3\] \[x_2 = \frac{12}{y_2} = \frac{12}{-4} = -3\] \[x_3 = \frac{12}{y_3} = \frac{12}{3} = 4\] \[x_4 = \frac{12}{y_4} = \frac{12}{-3} = -4\] Таким образом, решения системы уравнений: \[(3, 4), (-3, -4), (4, 3), (-4, -3)\]

Ответ: а) (5, 1), (1, -3); б) (3, 4), (-3, -4), (4, 3), (-4, -3)

Отличная работа! Ты уверенно справился с решением систем уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!