5. Решите систему уравнений: 9x² + 2y – 6xy = 6x – y², 2x + 5y = 7.

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 9x^2 + 2y - 6xy = 6x - y^2 \\ 2x + 5y = 7 \end{cases}$$

Преобразуем первое уравнение:

$$9x^2 + 2y - 6xy - 6x + y^2 = 0$$

$$9x^2 - 6xy + y^2 - 6x + 2y = 0$$

$$(3x - y)^2 - 2(3x - y) = 0$$

$$(3x - y)(3x - y - 2) = 0$$

Выразим x из второго уравнения:

$$2x + 5y = 7$$

$$2x = 7 - 5y$$

$$x = \frac{7-5y}{2}$$

Вернемся к первому уравнению и рассмотрим 2 случая:

$$3x - y = 0$$ или $$3x - y - 2 = 0$$

1) $$3x - y = 0$$

$$y = 3x$$

Тогда:

$$x = \frac{7-5(3x)}{2}$$

$$x = \frac{7-15x}{2}$$

$$2x = 7 - 15x$$

$$17x = 7$$

$$x = \frac{7}{17}$$

$$y = 3 \times \frac{7}{17} = \frac{21}{17}$$

Первое решение системы уравнений: $$(\frac{7}{17}; \frac{21}{17})$$

2) $$3x - y - 2 = 0$$

$$y = 3x - 2$$

Тогда:

$$x = \frac{7 - 5(3x - 2)}{2}$$

$$x = \frac{7 - 15x + 10}{2}$$

$$x = \frac{17 - 15x}{2}$$

$$2x = 17 - 15x$$

$$17x = 17$$

$$x = 1$$

$$y = 3 \times 1 - 2 = 1$$

Второе решение системы уравнений: $$(1;1)$$

Ответ: $$(\frac{7}{17}; \frac{21}{17})$$ и $$(1;1)$$.