5. Решите систему уравнений a) {log₂(x + y) = 1, log₃ (x - y) = 2; б) {3ˣ⁻ʸ = 1/3, 3ˣʸ = 3, 2ˣ ⋅ 2ʸ = 32.

а) Решим систему уравнений: \[\begin{cases} \log_2(x + y) = 1, \\ \log_3(x - y) = 2. \end{cases}\] Преобразуем уравнения: \[\begin{cases} x + y = 2^1 = 2, \\ x - y = 3^2 = 9. \end{cases}\] Сложим уравнения: \[2x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{2} = 5.5\] Найдем y: \[y = 2 - x = 2 - \frac{11}{2} = \frac{4 - 11}{2} = -\frac{7}{2} = -3.5\] Ответ: \(x = 5.5, y = -3.5\)

б) Решим систему уравнений: \[\begin{cases} 3^{x-y} = \frac{1}{3}, \\ 3^{xy} = 3, \\ 2^x \cdot 2^y = 32. \end{cases}\] Преобразуем уравнения: \[\begin{cases} x - y = -1, \\ xy = 1, \\ 2^{x+y} = 2^5 \Rightarrow x + y = 5. \end{cases}\] Из первого уравнения выразим x: \(x = y - 1\) Подставим во второе уравнение: \((y - 1)y = 1\) \[y^2 - y - 1 = 0\] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5\) Корни: \(y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\) Найдем соответствующие значения x: \[x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\] \[x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{-\sqrt{5} - 1}{2}\] Используем третье уравнение: \(x + y = 5\) Из первого уравнения выразим x: \(x = -y + 5\) Подставим во второе уравнение: \((-y + 5)y = 1\) \[-y^2 + 5y - 1 = 0 \Rightarrow y^2 - 5y + 1 = 0\] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21\) Корни: \(y_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}, y_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}\) Найдем соответствующие значения x: \[x_1 = 5 - \frac{5 + \sqrt{21}}{2} = \frac{10 - 5 - \sqrt{21}}{2} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}\] \[x_2 = 5 - \frac{5 - \sqrt{21}}{2} = \frac{10 - 5 + \sqrt{21}}{2} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}\] Случай когда \(y=0\) Если \(y=0\), то уравнение 3xy=3 обращается в 3^0=3, что неверно. Поэтому, вариант не подходит. В системе с \(x - y = -1\) и \(x+y = 5\) можно сложить уравнения, чтобы найти x: \(2x = 4\), отсюда \(x = 2\). Затем подставить x в любое из уравнений, чтобы найти y: \(y = x + 1 = 3\). В этом случае, у нас есть \(x=5\), \(y=0\) И \(x=-1\), \(y=-4\)