4. Решите систему равнений методом подстановки, одно на выбор: a) [x-y=6, x² + y² = 20; б) {4/x + 3/(y-1) = 7, 3x - y = 1.

а) Решим систему уравнений: \[\begin{cases} x - y = 6, \\ x^2 + y^2 = 20. \end{cases}\] Выразим x через y из первого уравнения: \(x = y + 6\) Подставим это выражение во второе уравнение: \[(y + 6)^2 + y^2 = 20\] Раскроем скобки и упростим: \[y^2 + 12y + 36 + y^2 = 20\] \[2y^2 + 12y + 16 = 0\] Разделим на 2: \[y^2 + 6y + 8 = 0\] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\) Корни: \(y_1 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = -2\), \(y_2 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 - 2}{2} = -4\) Найдем соответствующие значения x: Если \(y = -2\), то \(x = -2 + 6 = 4\) Если \(y = -4\), то \(x = -4 + 6 = 2\) Проверим полученные решения: Для (4, -2): \(4^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20\) (верно) Для (2, -4): \(2^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20\) (верно) Оба решения подходят, поэтому: Ответ: (4, -2) и (2, -4)

б) Решим систему уравнений: \[\begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{3}{y-1} = 7, \\ 3x - y = 1. \end{cases}\] Выразим y через x из второго уравнения: \(y = 3x - 1\) Подставим это выражение в первое уравнение: \[\frac{4}{x} + \frac{3}{(3x - 1) - 1} = 7\] \[\frac{4}{x} + \frac{3}{3x - 2} = 7\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{4(3x - 2) + 3x}{x(3x - 2)} = 7\] Упростим: \[12x - 8 + 3x = 7x(3x - 2)\] \[15x - 8 = 21x^2 - 14x\] Перенесем все в одну сторону: \[21x^2 - 29x + 8 = 0\] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \(D = (-29)^2 - 4 \cdot 21 \cdot 8 = 841 - 672 = 169\) Корни: \(x_1 = \frac{29 + \sqrt{169}}{2 \cdot 21} = \frac{29 + 13}{42} = \frac{42}{42} = 1\), \(x_2 = \frac{29 - \sqrt{169}}{2 \cdot 21} = \frac{29 - 13}{42} = \frac{16}{42} = \frac{8}{21}\) Найдем соответствующие значения y: Если \(x = 1\), то \(y = 3 \cdot 1 - 1 = 2\) Если \(x = \frac{8}{21}\), то \(y = 3 \cdot \frac{8}{21} - 1 = \frac{24}{21} - 1 = \frac{8}{7} - 1 = \frac{1}{7}\) Проверим полученные решения: Для (1, 2): \[\frac{4}{1} + \frac{3}{2-1} = 4 + 3 = 7\] (верно) \[3(1) - 2 = 1\] (верно) Для (8/21, 1/7): \[\frac{4}{\frac{8}{21}} + \frac{3}{\frac{1}{7} - 1} = \frac{4 \cdot 21}{8} + \frac{3}{\frac{-6}{7}} = \frac{21}{2} - \frac{7}{2} = \frac{14}{2} = 7\] (верно) \[3(\frac{8}{21}) - \frac{1}{7} = \frac{8}{7} - \frac{1}{7} = \frac{7}{7} = 1\] (верно) Оба решения подходят, поэтому: Ответ: (1, 2) и (8/21, 1/7)