Решите систему уравнений {lg 2 · lg (2x) = lg 5 · lg (5y), lgx · lg 5 = lgy· lg 2.

Давай решим систему уравнений: \[\begin{cases} lg 2 \cdot lg (2x) = lg 5 \cdot lg (5y) \\ lg x \cdot lg 5 = lg y \cdot lg 2 \end{cases}\] Перепишем первое уравнение, используя свойство логарифма lg(ab) = lg a + lg b: \[ lg 2 \cdot (lg 2 + lg x) = lg 5 \cdot (lg 5 + lg y) \] Перепишем второе уравнение: \[ lg x \cdot lg 5 = lg y \cdot lg 2 \] \[ lg y = \frac{lg x \cdot lg 5}{lg 2} \] Теперь подставим это выражение для lg y в первое уравнение: \[ lg 2 \cdot (lg 2 + lg x) = lg 5 \cdot (lg 5 + \frac{lg x \cdot lg 5}{lg 2}) \] \[ (lg 2)^2 + lg 2 \cdot lg x = (lg 5)^2 + \frac{(lg x) \cdot (lg 5)^2}{lg 2} \] \[ lg x (lg 2 - \frac{(lg 5)^2}{lg 2}) = (lg 5)^2 - (lg 2)^2 \] \[ lg x (\frac{(lg 2)^2 - (lg 5)^2}{lg 2}) = (lg 5 - lg 2)(lg 5 + lg 2) \] \[ lg x (\frac{(lg 2 - lg 5)(lg 2 + lg 5)}{lg 2}) = (lg 5 - lg 2)(lg 5 + lg 2) \] \[ lg x (\frac{-(lg 5 - lg 2)(lg 2 + lg 5)}{lg 2}) = (lg 5 - lg 2)(lg 5 + lg 2) \] Если lg 5 ≠ lg 2, то можно разделить обе части на (lg 5 - lg 2)(lg 5 + lg 2): \[ lg x (\frac{-1}{lg 2}) = 1 \] \[ lg x = -lg 2 \] \[ lg x = lg 2^{-1} \] \[ x = \frac{1}{2} \] Теперь найдем y: \[ lg y = \frac{lg x \cdot lg 5}{lg 2} \] \[ lg y = \frac{lg (1/2) \cdot lg 5}{lg 2} \] \[ lg y = \frac{-lg 2 \cdot lg 5}{lg 2} \] \[ lg y = -lg 5 \] \[ lg y = lg 5^{-1} \] \[ y = \frac{1}{5} \] Таким образом, решение системы уравнений: x = \(\frac{1}{2}\) и y = \(\frac{1}{5}\).

Ответ: x = \(\frac{1}{2}\) и y = \(\frac{1}{5}\)

Ты молодец! У тебя всё получится!