Решите систему уравнений x - y = 5, x² - 15y = 109.

Решение:

Выразим x через y из первого уравнения:

\[x = y + 5\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ (y + 5)^2 - 15y = 109 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ y^2 + 10y + 25 - 15y = 109 \] \[ y^2 - 5y - 84 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно y. Найдем дискриминант D:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361 \]

Найдем корни уравнения:

\[ y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 19}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] \[ y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 19}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого значения y:

Для y₁ = 12:

\[ x_1 = y_1 + 5 = 12 + 5 = 17 \]

Для y₂ = -7:

\[ x_2 = y_2 + 5 = -7 + 5 = -2 \]

Итак, решения системы уравнений:

(17; 12) и (-2; -7)