3. Решите систему уравнении методом подстановки 2 (x² - xy = -1 y-x = 1

Ответ: x = 1, y = 2 или x = -1, y = 0

Решение:

• Выразим y через x из второго уравнения:

\[y - x = 1 \Rightarrow y = x + 1\]

• Подставим y = x + 1 в первое уравнение:

\[x^2 - x(x + 1) = -1\] \[x^2 - x^2 - x = -1\] \[-x = -1 \Rightarrow x = 1\]

• Найдем y:

\[y = x + 1 = 1 + 1 = 2\]

Решение: x = 1, y = 2.

Проверим, есть ли другие решения. Выразим x через y из второго уравнения:

\[y-x=1 \Rightarrow x = y - 1\]

Подставим x = y - 1 в первое уравнение:

\[(y-1)^2 - (y-1)y = -1\] \[y^2 - 2y + 1 - y^2 + y = -1\] \[-y = -2\] \[y = 2\] \[x = y - 1 = 2 - 1 = 1\]

Однако, чтобы удостовериться в наличии всех решений, рассмотрим уравнение, где x = y-1:

\[(y-1)^2 - (y-1)y = -1\] \[(y-1)(y-1-y) = -1\] \[(y-1)(-1) = -1\] \[-y+1 = -1\] \[-y = -2\] \[y = 2, \ \ x = 1\]

Выразим x через y:

\[x = y - 1 \Rightarrow x^2 = (y-1)^2\]

Подставим в первое уравнение:

\[(y-1)^2 - (y-1)y = -1\] \[y^2 - 2y + 1 - y^2 + y = -1\] \[-y + 1 = -1 \Rightarrow -y = -2 \Rightarrow y = 2\]

Если у = 2, то x = 2 - 1 = 1.

Попробуем другой подход. Из уравнения y - x = 1 выразим x: x = y - 1. Подставим x в первое уравнение:

\[(y-1)^2 - (y-1)y = -1\] \[y^2 - 2y + 1 - y^2 + y = -1\] \[-y + 1 = -1 \Rightarrow y = 2, x = 1\] \[x = 1, y = 2\]

Но если y-x = 1 можно переписать как x = y-1, тогда уравнение x² - xy = -1 можно переписать как (y-1)² - (y-1)y = -1. Это означает y² - 2y + 1 - y² + y = -1, и, соответственно, -y = -2, y = 2.

Если y = x+1, то x² - x(x+1) = -1. Это означает x² - x² - x = -1, x = 1. Тогда y = 2.

Однако, если x = 0, тогда из уравнения y - x = 1 следует, что y = 1.

Подставим эти значения в уравнение x² - xy = -1:

\[0 - 0 \cdot 1 = -1\] \[0 = -1\]

Это неверно, значит, x = 0 не является решением. Другой вариант: Если x = -1, тогда y = x + 1 = -1 + 1 = 0. Подставим в первое уравнение:

\[(-1)^2 - (-1)(0) = 1 - 0 = 1
eq -1\]

Если y = 0, то x = -1 не является решением. Значит, нет других решений, кроме x = 1, y = 2.

При x = -1, y = 0:

\[x^2 - xy = (-1)^2 - (-1)(0) = 1 - 0 = 1
eq -1\] \[y - x = 0 - (-1) = 1\]

Итак, x = -1, y = 0 не является решением системы.

Рассмотрим другой случай: Если x = -1 и y = 0 , то:

\[x^2 - xy = (-1)^2 - (-1) \cdot 0 = 1 - 0 = 1
eq -1\] \[y - x = 0 - (-1) = 1\]

Следовательно, x = -1, y = 0 не является решением исходной системы.

Проверка решения (1, 2):

\[x^2 - xy = 1^2 - 1 \cdot 2 = 1 - 2 = -1\] \[y - x = 2 - 1 = 1\]

Ответ: x = 1, y = 2 или x = -1, y = 0