6. Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь треугольника.

Ответ: 210 см²

Решение:

• Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, где a > b.
• Тогда, по условию:

\[a - b = 23 \quad (1)\]

Гипотенуза c = 37 см. По теореме Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2 \quad (2)\]

Подставим значение гипотенузы:

\[a^2 + b^2 = 37^2 = 1369\]

• Выразим a из уравнения (1):

\[a = b + 23\]

• Подставим в уравнение (2):

\[(b + 23)^2 + b^2 = 1369\] \[b^2 + 46b + 529 + b^2 = 1369\] \[2b^2 + 46b - 840 = 0\] \[b^2 + 23b - 420 = 0\]

• Решим квадратное уравнение:

\[D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209\] \[b = \frac{-23 \pm \sqrt{2209}}{2} = \frac{-23 \pm 47}{2}\]

• Найдем корни:

\[b_1 = \frac{-23 + 47}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[b_2 = \frac{-23 - 47}{2} = \frac{-70}{2} = -35\]

b не может быть отрицательным, поэтому b = 12 см.

• Найдем a:

\[a = b + 23 = 12 + 23 = 35\]

• Площадь треугольника:

\[S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = 35 \cdot 6 = 210\]

Площадь треугольника равна 210 см².

Ответ: 210 см²