10. Решите неравенство: log22x-3log2x≤4.

Решение:

Дано неравенство:

\[ (\log_2 x)^2 - 3 \log_2 x \le 4 \]

Пусть \(y = \log_2 x\). Тогда неравенство можно переписать как:

\[ y^2 - 3y \le 4 \]

\[ y^2 - 3y - 4 \le 0 \]

Решим квадратное уравнение \(y^2 - 3y - 4 = 0\). Дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

Корни:

\[ y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3+5}{2} = 4 \]

\[ y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3-5}{2} = -1 \]

Таким образом, неравенство \(y^2 - 3y - 4 \le 0\) выполняется для \(-1 \le y \le 4\). Вернемся к переменной x:

\[ -1 \le \log_2 x \le 4 \]

\[ 2^{-1} \le x \le 2^4 \]

\[ \frac{1}{2} \le x \le 16 \]

Ответ: 0.5 ≤ x ≤ 16