Решите неравенство: log₁ (2x-7)≤log1 (10-x)+1.

Решение:

Дано неравенство:

\[ \log_{\frac{1}{2}} (2x-7) \le \log_{\frac{1}{2}} (10-x) + 1 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ \log_{\frac{1}{2}} (2x-7) - \log_{\frac{1}{2}} (10-x) \le 1 \]

Используем свойство логарифмов:

\[ \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{2x-7}{10-x} \right) \le 1 \]

Избавимся от логарифма:

\[ \frac{2x-7}{10-x} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2} \]

\[ \frac{2x-7}{10-x} - \frac{1}{2} \ge 0 \]

\[ \frac{2(2x-7) - (10-x)}{2(10-x)} \ge 0 \]

\[ \frac{4x-14-10+x}{2(10-x)} \ge 0 \]

\[ \frac{5x-24}{2(10-x)} \ge 0 \]

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

\[ 5x-24 = 0 \Rightarrow x = \frac{24}{5} = 4.8 \]

\[ 10-x = 0 \Rightarrow x = 10 \]

Теперь учтем область определения логарифмов:

\[ 2x-7 > 0 \Rightarrow x > \frac{7}{2} = 3.5 \]

\[ 10-x > 0 \Rightarrow x < 10 \]

Таким образом, у нас есть интервалы:

\[ 3.5 < x \le 4.8 \]

Ответ: 3.5 < x ≤ 4.8