Решите неравенство log₂x + log₂x - 12 > 0.

Решение:

Решим неравенство \( \log_2 x + \log_2 (x-12) > 0 \).

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   • \( x > 0 \)
   • \( x - 12 > 0 \) \( \Rightarrow x > 12 \)
   Таким образом, ОДЗ: \( x > 12 \).
2. Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: \( \log_2 (x(x-12)) > 0 \).
3. Представим 0 как \( \log_2 1 \): \( \log_2 (x^2 - 12x) > \log_2 1 \).
4. Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), функция \( \log_2 t \) возрастающая. Поэтому: \( x^2 - 12x > 1 \).
5. Решим полученное квадратное неравенство: \( x^2 - 12x - 1 > 0 \).
6. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 12x - 1 = 0 \) по теореме Виета или через дискриминант: \( D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 144 + 4 = 148 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{148} = \sqrt{4 \cdot 37} = 2\sqrt{37} \).
7. Корни: \( x_1 = \frac{12 - 2\sqrt{37}}{2} = 6 - \sqrt{37} \), \( x_2 = \frac{12 + 2\sqrt{37}}{2} = 6 + \sqrt{37} \).
8. Так как ветви параболы \( y = x^2 - 12x - 1 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 - 12x - 1 > 0 \) выполняется при \( x < 6 - \sqrt{37} \) или \( x > 6 + \sqrt{37} \).
9. Учтем ОДЗ \( x > 12 \). \( \sqrt{37} \) примерно равно 6.08.
10. \( 6 - \sqrt{37} ≈ 6 - 6.08 = -0.08 \).
11. \( 6 + \sqrt{37} ≈ 6 + 6.08 = 12.08 \).
12. Таким образом, \( x > 12.08 \).
13. Совместим условие \( x < 6 - \sqrt{37} \) или \( x > 6 + \sqrt{37} \) с ОДЗ \( x > 12 \).
14. Условие \( x < 6 - \sqrt{37} \) не удовлетворяет ОДЗ.
15. Условие \( x > 6 + \sqrt{37} \) при \( \sqrt{37} \approx 6.08 \) дает \( x > 12.08 \), что удовлетворяет ОДЗ \( x > 12 \).

Ответ: \( x > 6 + \sqrt{37} \).