Найдите площадь поверхности вращения прямоугольника ABCD со сторонами AB = 4, BC = 3 вокруг прямой, проходящей через середины сторон AB и CD.

Решение:

Прямая, проходящая через середины сторон AB и CD, является осью вращения. Эта прямая параллельна сторонам BC и AD.

1. Так как прямая проходит через середины AB и CD, она является осью симметрии прямоугольника, параллельной сторонам BC и AD.
2. Расстояние от этой оси до стороны BC (или AD) равно половине длины AB (или CD).
3. Если прямая проходит через середины AB и CD, то она параллельна BC и AD.
4. Пусть AB = 4 и BC = 3.
5. Если прямая проходит через середины AB и CD, то эта прямая является осью симметрии, параллельной BC и AD.
6. Длина этой оси (высота цилиндра, образованного вращением) равна BC = 3.
7. Радиус вращения будет равен половине длины AB, то есть \( r = AB/2 = 4/2 = 2 \).
8. Площадь поверхности вращения состоит из площади боковой поверхности цилиндра и площадей двух оснований (кругов).
9. Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{бок} = 2 \pi r h \). \( h = BC = 3 \), \( r = AB/2 = 2 \). \( S_{бок} = 2 \pi \cdot 2 \cdot 3 = 12 \pi \).
10. Площадь двух оснований: \( 2 S_{осн} = 2 \pi r^2 = 2 \pi (2)^2 = 2 \pi \cdot 4 = 8 \pi \).
11. Общая площадь поверхности вращения: \( S_{общ} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 12 \pi + 8 \pi = 20 \pi \).
12. Второй вариант: Если прямая проходит через середины сторон BC и AD, то она параллельна AB и CD.
13. Тогда высота цилиндра равна AB = 4.
14. Радиус вращения будет равен половине длины BC, то есть \( r = BC/2 = 3/2 \).
15. Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot (3/2) \cdot 4 = 12 \pi \).
16. Площадь двух оснований: \( 2 S_{осн} = 2 \pi r^2 = 2 \pi (3/2)^2 = 2 \pi \cdot 9/4 = 9\pi/2 \).
17. Общая площадь поверхности вращения: \( S_{общ} = 12 \pi + 9\pi/2 = 24\pi/2 + 9\pi/2 = 33\pi/2 \).
18. В условии указана "прямая, проходящая через середины сторон AB и CD". Это означает, что эта прямая параллельна BC и AD.

Ответ: \( 20 \pi \).