Найдите точку минимума функции y = x³ - 3x² + 17.

Решение:

Для нахождения точки минимума функции \( y = x^3 - 3x^2 + 17 \), найдем её производную и приравняем к нулю.

1. Найдем производную функции: \( y' = (x^3 - 3x^2 + 17)' = 3x^2 - 6x \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 6x = 0 \).
3. Вынесем общий множитель: \( 3x(x - 2) = 0 \).
4. Отсюда находим критические точки: \( x = 0 \) или \( x = 2 \).
5. Определим знаки производной на интервалах, чтобы найти точки минимума и максимума:
   • При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( y' = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
   • При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( y' = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \). Функция убывает.
   • При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( y' = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
6. Точка \( x = 0 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус.
7. Точка \( x = 2 \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: x = 2.