Решите неравенство: \(\log_{0.2}(3x - 5) \ge \log_{0.2}(x + 1)\).

Решение:

Данное неравенство является логарифмическим. Основание логарифма \( 0.2 \) меньше 1, поэтому при раскрытии логарифмов знак неравенства меняется на противоположный.

1. ОДЗ (Область допустимых значений):

Аргументы логарифмов должны быть положительными:

• \( 3x - 5 > 0 \) \( \Rightarrow 3x > 5 \) \( \Rightarrow x > \frac{5}{3} \)
• \( x + 1 > 0 \) \( \Rightarrow x > -1 \)

Объединяя оба условия, получаем \( x > \frac{5}{3} \).

2. Решение неравенства:

Так как основание логарифма \( 0.2 < 1 \), то:

\( 3x - 5 \le x + 1 \)

\( 3x - x \le 1 + 5 \)

\( 2x \le 6 \)

\( x \le 3 \)

3. Пересечение решения с ОДЗ:

Мы получили два условия: \( x > \frac{5}{3} \) и \( x \le 3 \).

Объединяя их, получаем:

\( \frac{5}{3} < x \le 3 \)

Ответ: \( (\frac{5}{3}; 3] \).