Решить уравнения: а) 5^{4-x} = 25; б) \(\sqrt{x^2 - 8x - 4}\) = 4; в) \(\log\)_7(x + 21) = 2; г) 2\(\sin\)^2x + 5 \(\sin\) x - 3 = 0.

Решение:

а) 5^4-x = 25

1. Представим 25 как 5²: \( 5^{4-x} = 5^2 \)
2. Приравниваем показатели степеней: \( 4 - x = 2 \)
3. Решаем уравнение: \( x = 4 - 2 \)
4. \( x = 2 \)

б) \(\sqrt{x^2 - 8x - 4} = 4\)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( x^2 - 8x - 4 = 16 \)
2. Перенесём всё в одну сторону: \( x^2 - 8x - 4 - 16 = 0 \)
3. \( x^2 - 8x - 20 = 0 \)
4. Найдём дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 \)
5. Найдём корни: \[ x_1 = \frac{8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] \[ x_2 = \frac{8 - \sqrt{144}}{2} = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
6. Проверим корни: \( \sqrt{10^2 - 8 \cdot 10 - 4} = \sqrt{100 - 80 - 4} = \sqrt{16} = 4 \) (верно); \( \sqrt{(-2)^2 - 8 \cdot (-2) - 4} = \sqrt{4 + 16 - 4} = \sqrt{16} = 4 \) (верно).

в) \(\log_7(x + 21) = 2\)

1. По определению логарифма: \( x + 21 = 7^2 \)
2. \( x + 21 = 49 \)
3. \( x = 49 - 21 \)
4. \( x = 28 \)

г) 2\(\sin^2x + 5 \sin x - 3 = 0\)

1. Сделаем замену: пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \( 2y^2 + 5y - 3 = 0 \)
2. Найдём дискриминант: \( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \)
3. Найдём корни для \( y \): \[ y_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \] \[ y_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]
4. Теперь вернёмся к \( \sin x \):
• \( \sin x = 0.5 \) → \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
• \( \sin x = -3 \) — решений нет, так как \( -1 \le \sin x \le 1 \).

Ответ: а) x = 2; б) x₁ = 10, x₂ = -2; в) x = 28; г) x = \(\frac{\pi}{6} + 2\pi k\), x = \(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \( k \(\in\) \(\mathbb{Z}\).