Найдите объём и площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг большего катета.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов получается конус.

Больший катет (8 см) будет высотой конуса (H), а меньший катет (6 см) — радиусом основания конуса (r).

1. Найдём объём конуса (V):

Формула объёма конуса: \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 H \)

Подставим значения: \( r = 6 \text{ см} \), \( H = 8 \text{ см} \).

\( V = \frac{1}{3}\pi (6 \text{ см})^2 (8 \text{ см}) = \frac{1}{3}\pi (36 \text{ см}^2) (8 \text{ см}) = \pi (12 \text{ см}^2) (8 \text{ см}) = 96\pi \text{ см}^3 \)

2. Найдём площадь боковой поверхности конуса (S_бок):

Формула площади боковой поверхности конуса: \( S_{бок} = \pi r l \), где \( l \) — образующая конуса.

Найдём образующую (которая является гипотенузой треугольника) по теореме Пифагора:

\( l^2 = r^2 + H^2 \)

\( l^2 = (6 \text{ см})^2 + (8 \text{ см})^2 = 36 \text{ см}^2 + 64 \text{ см}^2 = 100 \text{ см}^2 \)

\( l = \sqrt{100 \text{ см}^2} = 10 \text{ см} \)

Теперь подставим значения в формулу боковой поверхности:

\( S_{бок} = \pi (6 \text{ см}) (10 \text{ см}) = 60\pi \text{ см}^2 \)

Ответ: Объём V = 96\(\pi\) см³, площадь боковой поверхности S_бок = 60\(\pi\) см²