4. Решите неравенства: a) log3(9-x2)-5log3(9-x2)+4≥ 0;6) Cos²x+0,5Sin2x>0

Решим неравенства:

1. а) $$\log_3^2(9-x^2) - 5\log_3(9-x^2) + 4 \ge 0$$

   Пусть $$y = \log_3(9-x^2)$$, тогда неравенство принимает вид:

   $$y^2 - 5y + 4 \ge 0$$

   Решим квадратное неравенство:

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$

   $$y_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

   $$y_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1$$

   Неравенство выполняется при $$y \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$$.

   Вернемся к переменной x:

   $$\log_3(9-x^2) \le 1$$ или $$\log_3(9-x^2) \ge 4$$

   $$9-x^2 \le 3^1 = 3$$ или $$9-x^2 \ge 3^4 = 81$$

   $$x^2 \ge 6$$ или $$x^2 \le -72$$

   Так как $$x^2 \le -72$$ не имеет решений, то остается $$x^2 \ge 6$$.

   $$x \in (-\infty; -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}; +\infty)$$

   Также необходимо учесть область определения логарифма $$9-x^2 > 0$$, то есть $$x^2 < 9$$.

   $$x \in (-3; 3)$$.

   Тогда окончательное решение:

   $$x \in (-3; -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}; 3)$$

2. б) $$\cos^2 x + 0.5\sin 2x > 0$$

   $$\cos^2 x + 0.5 \cdot 2\sin x \cos x > 0$$

   $$\cos^2 x + \sin x \cos x > 0$$

   $$\cos x(\cos x + \sin x) > 0$$

   Разделим обе части на $$\cos x$$, тогда:

   $$\cos x + \sin x > 0$$

   $$\sin x > - \cos x$$

   $$\tan x > -1$$

   $$x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

1. $$x \in (-3; -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}; 3)$$
2. $$x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$$