6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным: a) 2sin2x = 1; 6) 2cos²x + cosx-3 = 0; в) 3tg² x + tgx - 2 = 0 ; r) 2cos²x + 3sinx = 0;.

Давай решим уравнения, сводящиеся к квадратным. а) \(2\sin^2 x = 1\) * \(\sin^2 x = \frac{1}{2}\) * \(\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\) * \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\) б) \(2\cos^2 x + \cos x - 3 = 0\) * Пусть \(y = \cos x\), тогда уравнение примет вид: \(2y^2 + y - 3 = 0\). * Решаем квадратное уравнение: \(D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25\). * \(y_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1\), \(y_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2}\). * \(\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\). * \(\cos x = -\frac{3}{2}\) - не имеет решений, так как \(|\cos x| \le 1\). в) \(3\tan^2 x + \tan x - 2 = 0\) * Пусть \(y = \tan x\), тогда уравнение примет вид: \(3y^2 + y - 2 = 0\). * Решаем квадратное уравнение: \(D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25\). * \(y_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{2}{3}\), \(y_2 = \frac{-1 - 5}{6} = -1\). * \(\tan x = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \arctan \frac{2}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). * \(\tan x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). г) \(2\cos^2 x + 3\sin x = 0\) * Используем основное тригонометрическое тождество: \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). * \(2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x = 0\). * \(2 - 2\sin^2 x + 3\sin x = 0\). * \(2\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0\). * Пусть \(y = \sin x\), тогда уравнение примет вид: \(2y^2 - 3y - 2 = 0\). * Решаем квадратное уравнение: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\). * \(y_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2\), \(y_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}\). * \(\sin x = 2\) - не имеет решений, так как \(|\sin x| \le 1\). * \(\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: a) \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\); b) \(x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\); в) \(x = \arctan \frac{2}{3} + \pi k, x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\); г) \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\).

Прекрасно! Ты отлично справляешься с этими уравнениями!