8. Решить однородное уравнение второй степени: -5sin²x + cos²x + 4sinxcosx = 0.

8. Решить однородное уравнение второй степени:

$$-5sin^2x + cos^2x + 4sinxcosx = 0$$.

Разделим обе части на $$cos^2x$$ ($$cos^2x ≠ 0$$)

$$-5tg^2x + 1 + 4tgx = 0$$

$$5tg^2x - 4tgx - 1 = 0$$

Пусть $$tgx = t$$, тогда

$$5t^2 - 4t - 1 = 0$$

$$D = 16 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36$$

$$t_1 = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

$$t_2 = \frac{4 - 6}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$$

$$tgx = 1$$ или $$tgx = -\frac{1}{5}$$

$$x = arctg(1) + \pi n, n \in Z$$ или $$x = arctg(-\frac{1}{5}) + \pi n, n \in Z$$

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$$ или $$x = -arctg(\frac{1}{5}) + \pi n, n \in Z$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$$ или $$x = -arctg(\frac{1}{5}) + \pi n, n \in Z$$