Решить уравнения: а) \( \left( \frac{1}{5} \right)^x = 25 \); б) \( \log_{0,5} (3x+1) = -2 \); в) \( \sqrt{x+4} = 7 \).

Решение:

а) Решение уравнения \( \left( \frac{1}{5} \right)^x = 25 \):

Представим обе части уравнения как степени с основанием 5:

\[ \left( 5^{-1} \right)^x = 5^2 \]

\[ 5^{-x} = 5^2 \]

Приравниваем показатели степеней:

\[ -x = 2 \]

\[ x = -2 \]

б) Решение уравнения \( \log_{0,5} (3x+1) = -2 \):

По определению логарифма:

\[ 3x+1 = (0,5)^{-2} \]

\[ 3x+1 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \]

\[ 3x+1 = 2^2 \]

\[ 3x+1 = 4 \]

\[ 3x = 3 \]

\[ x = 1 \]

Проверим ОДЗ: \( 3x+1 > 0 \). При \( x=1 \), \( 3(1)+1 = 4 > 0 \). Решение подходит.

в) Решение уравнения \( \sqrt{x+4} = 7 \):

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{x+4})^2 = 7^2 \]

\[ x+4 = 49 \]

\[ x = 49 - 4 \]

\[ x = 45 \]

Проверим ОДЗ: \( x+4 0 \). При \( x=45 \), \( 45+4 = 49 0 \). Решение подходит.

Ответ: а) -2; б) 1; в) 45