а) Упростить выражение \( 1 - \sin^2 \alpha (1 + ctg^2 \alpha) \); б) Решить уравнение \( \cos x = \frac{1}{2} \); в) Вычислить \( \frac{-22 \text{ tg } 148^\circ}{\text{ tg } 32^\circ} \).

Решение:

а) Упрощение выражения:

\[ 1 - \sin^2 \alpha (1 + \text{ctg}^2 \alpha) \]

Используем основное тригонометрическое тождество: \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \).

\[ 1 - \sin^2 \alpha \frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 - 1 = 0 \]

б) Решение уравнения:

\[ \cos x = \frac{1}{2} \]

Общее решение уравнения \( \cos x = a \) имеет вид \( x = \pm \arccos a + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

\[ x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n \]

\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

в) Вычисление:

\[ \frac{-22 \text{ tg } 148^\circ}{\text{ tg } 32^\circ} \]

Используем свойство тангенса: \( \text{tg} (180^\circ - \alpha) = -\text{tg } \alpha \).

\[ \text{tg } 148^\circ = \text{tg} (180^\circ - 32^\circ) = -\text{tg } 32^\circ \]

Подставим в исходное выражение:

\[ \frac{-22 (-\text{tg } 32^\circ)}{\text{ tg } 32^\circ} = \frac{22 \text{ tg } 32^\circ}{\text{ tg } 32^\circ} = 22 \]

Ответ: а) 0; б) \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \); в) 22