Решить уравнения: а) 5^{4-x} = 25; б) \(\sqrt{x^2 - 8x - 4}\) = 4; б) \(\log\)_{7}(x + 21) = 2; г) 2\(\sin\)^2x + 5 \(\sin\) x - 3 = 0.

Решение:

а) 5^4-x = 25

1. Представим 25 как 5²: \( 5^{4-x} = 5^2 \)
2. Приравниваем показатели степеней: \( 4 - x = 2 \)
3. Находим x: \( x = 4 - 2 = 2 \)

б) \( \sqrt{x^2 - 8x - 4} = 4 \)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( x^2 - 8x - 4 = 16 \)
2. Перенесём 16 в левую часть: \( x^2 - 8x - 4 - 16 = 0 \)
3. Упростим: \( x^2 - 8x - 20 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 \)
5. Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{8 + 12}{2} = 10 \] \[ x_2 = \frac{8 - \sqrt{144}}{2} = \frac{8 - 12}{2} = -2 \]
6. Проверим, удовлетворяют ли корни исходному уравнению (подкоренное выражение должно быть неотрицательным и правая часть должна быть равна 4).
7. При x=10: \( \sqrt{10^2 - 8 \cdot 10 - 4} = \sqrt{100 - 80 - 4} = \sqrt{16} = 4 \). Подходит.
8. При x=-2: \( \sqrt{(-2)^2 - 8 \cdot (-2) - 4} = \sqrt{4 + 16 - 4} = \sqrt{16} = 4 \). Подходит.

б) \( \log_{7}(x + 21) = 2 \)

1. По определению логарифма: \( x + 21 = 7^2 \)
2. \( x + 21 = 49 \)
3. \( x = 49 - 21 = 28 \)

г) \( 2\sin^2x + 5 \sin x - 3 = 0 \)

1. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \( 2t^2 + 5t - 3 = 0 \)
2. Решим квадратное уравнение для t. Дискриминант: \( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \)
3. Корни для t: \[ t_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \] \[ t_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]
4. Возвращаемся к замене: \( \sin x = 0.5 \) или \( \sin x = -3 \).
5. Уравнение \( \sin x = -3 \) не имеет решений, так как \( -1 \le \sin x \le 1 \).
6. Решаем \( \sin x = 0.5 \). Основные решения: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \] и \[ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \], где \( k \) — любое целое число.

Ответ: а) x = 2; б) x₁ = 10, x₂ = -2; б) x = 28; г) \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).