1. Решить систему уравнений (2х-У * 2ху = 8 (gy 34-x =

Ответ: x = 2, y = 1

Пошаговое решение

• Шаг 1: Преобразуем первое уравнение системы. \[2^{x-y} \cdot 2^{xy} = 8 \Rightarrow 2^{x-y+xy} = 2^3\] Отсюда: \[x - y + xy = 3\]
• Шаг 2: Преобразуем второе уравнение системы. \[9^y = 3^{4-x} \Rightarrow (3^2)^y = 3^{4-x} \Rightarrow 3^{2y} = 3^{4-x}\] Отсюда: \[2y = 4 - x \Rightarrow x = 4 - 2y\]
• Шаг 3: Подставим выражение для x из второго уравнения в первое: \[(4-2y) - y + (4-2y)y = 3 \Rightarrow 4 - 2y - y + 4y - 2y^2 = 3 \Rightarrow -2y^2 + y + 1 = 0\] Умножим на -1: \[2y^2 - y - 1 = 0\]
• Шаг 4: Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\] Корни: \[y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1+3}{4} = 1\] \[y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}\]
• Шаг 5: Найдем соответствующие значения x для каждого y. Для y = 1: \[x = 4 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2\] Для y = -\frac{1}{2}: \[x = 4 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 4 + 1 = 5\]
• Шаг 6: Проверим полученные решения, подставив их в исходные уравнения.
• Шаг 7: Проверка для (x = 2, y = 1): Первое уравнение: \[2^{2-1} \cdot 2^{2 \cdot 1} = 2^1 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8\] (верно) Второе уравнение: \[9^1 = 3^{4-2} \Rightarrow 9 = 3^2 \Rightarrow 9 = 9\] (верно)
• Шаг 8: Проверка для (x = 5, y = -\frac{1}{2}): Первое уравнение: \[2^{5-(-\frac{1}{2})} \cdot 2^{5(-\frac{1}{2})} = 2^{5+\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{5}{2}} = 2^{\frac{11}{2}} \cdot 2^{-\frac{5}{2}} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^3 = 8\] (верно) Второе уравнение: \[9^{-\frac{1}{2}} = 3^{4-5} \Rightarrow \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = 3^{-1} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\] (верно)
• Шаг 9: Запишем окончательные ответы.

Ответ: x = 2, y = 1