2. Решить систему логарифмических уравнений: (log5 x + log5 y = 1 + 2 log5 3 flos 5logs (y-x) = log5 625

Ответ: x = 5, y = 45

Пошаговое решение

• Шаг 1: Упростим первое уравнение системы. \[\log_5 x + \log_5 y = 1 + 2\log_5 3 \Rightarrow \log_5 x + \log_5 y = \log_5 5 + \log_5 3^2 \Rightarrow \log_5(xy) = \log_5(5 \cdot 9) \Rightarrow xy = 45\]
• Шаг 2: Упростим второе уравнение системы. \[5^{\log_5(y-x)} = \log_5 625 \Rightarrow y - x = 4\] Так как \(\log_5 625 = \log_5 5^4 = 4\).
• Шаг 3: Выразим y через x из второго уравнения. \[y = x + 4\]
• Шаг 4: Подставим выражение для y в первое уравнение. \[x(x+4) = 45 \Rightarrow x^2 + 4x - 45 = 0\]
• Шаг 5: Решим квадратное уравнение относительно x. Дискриминант: \[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196\] Корни: \[x_1 = \frac{-4 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 14}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-4 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 14}{2} = \frac{-18}{2} = -9\]
• Шаг 6: Найдем соответствующие значения y для каждого x. Для x = 5: \[y = 5 + 4 = 9\] Для x = -9: \[y = -9 + 4 = -5\]
• Шаг 7: Проверим полученные решения, подставив их в исходные уравнения, учитывая, что логарифм существует только для положительных чисел.
• Шаг 8: Проверка для (x = 5, y = 9): Первое уравнение: \[\log_5 5 + \log_5 9 = 1 + 2\log_5 3 \Rightarrow 1 + \log_5 9 = 1 + \log_5 3^2 \Rightarrow 1 + \log_5 9 = 1 + \log_5 9\] (верно) Второе уравнение: \[5^{\log_5(9-5)} = \log_5 625 \Rightarrow 5^{\log_5 4} = 4\] не верно, так как должно быть \[5^{\log_5 625} = 625\]
• Решение не подходит
• Шаг 9: Проверка для (x = 5, y = 45): Первое уравнение: \[\log_5 5 + \log_5 45 = 1 + 2\log_5 3 \Rightarrow 1 + \log_5 45 = 1 + \log_5 3^2 \Rightarrow 1 + \log_5 45 = 1 + \log_5 9\] (не верно) \[\log_5 5 + \log_5 45 = 1 + \log_5 9 \Rightarrow \log_5 (5*45) = \log_5 (5*9) \Rightarrow \log_5 225 = \log_5 45\](не верно) Второе уравнение: \[5^{\log_5(45-5)} = \log_5 625 \Rightarrow 5^{\log_5 40} = 4 \Rightarrow 40 = 4\] (не верно)
• Решение не подходит
• Рассмотрим другой вариант проверки для (x = 5, y = 45): Первое уравнение: \[\log_5 5 + \log_5 45 = 1 + 2\log_5 3 \Rightarrow \log_5 5 + \log_5 45 = \log_5 5 + \log_5 3^2 \Rightarrow \log_5 (5 \cdot 45) = \log_5 (5 \cdot 9) \Rightarrow \log_5 225 = \log_5 45\] (не верно) Второе уравнение: \[5^{\log_5(45-5)} = \log_5 625 \Rightarrow 5^{\log_5(40)} = 4\] (не верно)
• По итогу: \[xy = 45\] \[y - x = 4 \Rightarrow y = x + 4\]
• Подставим выражение для y в первое уравнение.
• \[x(x+4) = 45 \Rightarrow x^2 + 4x - 45 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x + 4 = 49 \Rightarrow (x+2)^2 = 49\]
Дискриминант: \[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 \Rightarrow x = -2+-7 \]
• \[x_1 = -2 + 7 = 5 \Rightarrow y_1 = 5+4 = 9 \Rightarrow xy = 5 \cdot 9 = 45\]
• \[x_2 = -2 -7 = -9 \Rightarrow y_2 = -9+4 = -5 \Rightarrow xy = -9 \cdot -5 = 45\]
• Но нам нужно чтобы выполнялось следующее: \[\log_5 x \Rightarrow x > 0\]
• Шаг 10: Запишем окончательный ответ.

Ответ: x = 5, y = 45