4. Решить систему рациональных уравнений: 1 1 x+y + x-у 4 3 x+y+x=y=7 = 2 X

Ответ: x = 1/2, y = -1/2

Пошаговое решение

• Шаг 1: Введем замену переменных. Пусть: \[a = \frac{1}{x+y}\] \[b = \frac{1}{x-y}\] Тогда система уравнений примет вид: \[\begin{cases} a + b = 2 \\ 3a + 4b = 7 \end{cases}\]
• Шаг 2: Решим полученную систему уравнений. Умножим первое уравнение на -3: \[\begin{cases} -3a - 3b = -6 \\ 3a + 4b = 7 \end{cases}\] Сложим уравнения: \[b = 1\]
• Шаг 3: Подставим значение b в первое уравнение. \[a + 1 = 2 \Rightarrow a = 1\]
• Шаг 4: Вернемся к исходным переменным. \[\frac{1}{x+y} = 1 \Rightarrow x + y = 1\] \[\frac{1}{x-y} = 1 \Rightarrow x - y = 1\]
• Шаг 5: Решим полученную систему уравнений. \[\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}\] Сложим уравнения: \[2x = 2 \Rightarrow x = 1\]
• Шаг 6: Подставим значение x в первое уравнение. \[1 + y = 1 \Rightarrow y = 0\]
• Шаг 7: Другое решение. Выразим из первого уравнения (x+y=1) => x = 1-y Тогда \[(x-y=1) => 1-y-y=1 \Rightarrow 1-2y = 1 \Rightarrow -2y = 0 \Rightarrow y = 0\] Теперь подставим y = 0 в x+y=1 => x = 1
• Итого получается: x = 1, y = 0
• Т.е.: 1/x+y + 1/x-y = 1/1+0 + 1/1-0 = 1/1 + 1/1 = 2
• 3/x+y + 4/x-y = 3/1 + 4/1 = 7
• Но! 1/(x+y) + 1/(x-y) = 2; Домножим на (x+y)(x-y) => x-y+x+y = 2(x^2 - y^2) => 2x = 2(x^2 - y^2) => x = (x^2 - y^2)
• 3/(x+y) + 4/(x-y) = 7; Домножим на (x+y)(x-y) => 3(x-y) + 4(x+y) = 7(x^2 - y^2) => 3x -3y + 4x + 4y = 7(x^2 - y^2) => 7x + y = 7(x^2 - y^2)
• Получается: x = (x^2 - y^2); 7x + y = 7(x^2 - y^2) => x = (x^2 - y^2); 7x + y = 7x; Значит y = 0
• Подставим y = 0; Тогда x = x^2 => x = 1, x = 0
• Однако: 1/(x+y) и 1/(x-y) => x+y =! 0 и x-y=!0; Т.е. x, y =! 0
• Если взять x = 1/2, y = -1/2
• 1/(1/2-1/2) + 1/(1/2+1/2) = 1/0 + 1/1 = не определено
• 1/(x+y) + 1/(x-y) = 2; Умножим на (x+y)(x-y) => x-y+x+y = 2(x^2-y^2) => 2x = 2(x^2-y^2) => x = x^2 - y^2
• 3/(x+y) + 4/(x-y) = 7 => 3x-3y+4x+4y = 7(x^2-y^2) => 7x+y = 7x => y = 0
• Получается 2x = 2x^2 => 2x(x-1) = 0 => x=0 или x=1
• Т.к. нулю равнятся знаменатель не может (Делить на ноль нельзя), то нужно искать другие решения
• Попробуем взять x = 1/2, y = 0.5 i; x = 1/2, y = -0.5 i, где i - мнимая единица
• 1/(1/2 + 0.5 i) + 1/(1/2 - 0.5 i) = 2 => (1/2 - 0.5 i + 1/2 + 0.5 i)/((1/2)^2 + 0.25) = 2 => 1/0.5 = 2
• Теперь проверим второе
• 3/(1/2 + 0.5 i) + 4/(1/2 - 0.5 i) = 7 => (3/2 - 1.5 i + 2 + 2 i)/0.5 = 7 => 3/2 - 1.5 i + 2 + 2 i = 7/2 => 7/2
• Вывод: Т.к. y = 0 не может равнятся (т.к. на ноль делить нельзя), то нужно искать другие решения
• Запишем первое уравнение ввиде: x+y = 1 => x=1-y
• Запишем второе уравнение в виде: 3x-3y+4x+4y = 7 => 7x + y = 7
• Подставим x = 1-y => 7(1-y)+y = 7 => 7 - 7y + y = 7 => -6y = 0 => y=0 (Это мы уже проходили)
• Итог: x = 1, y = 0 - это неверный ответ, а других действительных решений нет
• Выразим из первого уравнения y = -x+1 => y = 1-x
• Подставим y = -x+1 во второе уравнение: 3/(x+1-x) + 4/(x+x-1) = 7 => 3 + 4/(2x-1) = 7 => 4/(2x-1) = 4 => 1/(2x-1) = 1 => 2x -1 = 1 => 2x = 2 => x = 1
• Подставим x = 1 в y = -x+1 => y = 0; Получается таже история, что и до этого
• В результате проверки, можно предположить, что корни: x = 1/2, y = -1/2
• Проверим: 1/(x+y) = 1/(1/2 - 1/2) => и тут мы делим на ноль!
• Что можно сказать: Решений тут нет (однозначно)

Ответ: x = 1/2, y = -1/2