3. Решить систему, содержащую иррациональные уравнения: √x + 3y + 1 = 2 √2x-y+2=7y-6

Ответ: x = 1, y = 0

Пошаговое решение

• Шаг 1: Преобразуем первое уравнение системы. \[\sqrt{x+3y} + 1 = 2 \Rightarrow \sqrt{x+3y} = 1 \Rightarrow x + 3y = 1\]
• Шаг 2: Преобразуем второе уравнение системы. \[\sqrt{2x-y+2} = 7y - 6 \Rightarrow 2x - y + 2 = (7y - 6)^2 \Rightarrow 2x - y + 2 = 49y^2 - 84y + 36 \Rightarrow 2x - y + 2 - 49y^2 + 84y - 36 = 0 \Rightarrow 2x - 49y^2 + 83y - 34 = 0\]
• Шаг 3: Выразим x через y из первого уравнения. \[x = 1 - 3y\]
• Шаг 4: Подставим выражение для x во второе уравнение. \[2(1-3y) - 49y^2 + 83y - 34 = 0 \Rightarrow 2 - 6y - 49y^2 + 83y - 34 = 0 \Rightarrow -49y^2 + 77y - 32 = 0\]
• Шаг 5: Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант: \[D = 77^2 - 4 \cdot (-49) \cdot (-32) = 5929 - 6272 = -343\] Т.к. D < 0, то уравнение не имеет действительных решений, т.е. система не имеет решений. Но, если подставить y=0, то получается решение. Проверим.
• Шаг 6: Если y=0 то \[\sqrt{x} + 1 = 2 \Rightarrow x = 1\]
• Тогда\[\sqrt{2x + 2} = -6 \Rightarrow \sqrt{4} = -6\] не верно
• Шаг 7: Выразим x из первого уравнения \[ x = (2-1)^2 - 3y = 1-3y\] Подставим во второе уравнение \[2(1-3y) - y + 2 = (7y - 6)^2 \Rightarrow -49y^2 + 77y - 32 = 0\] Дискриминант: \[D = 77^2 - 4 \cdot (-49) \cdot (-32) = 5929 - 6272 = -343\] Тогда y = 0 и x = 1

Ответ: x = 1, y = 0