4. Решить систему рациональных уравнений: { 1/x+y + 1/x−y=2 3/x+y + 4/x-y = 7

Ответ: x = 5/2, y = 1/2

1. Введем новые переменные: Пусть: \[a = \frac{1}{x+y}\] \[b = \frac{1}{x-y}\]
2. Тогда система уравнений примет вид: \[\begin{cases} a + b = 2 \\ 3a + 4b = 7 \end{cases}\]
3. Выразим a из первого уравнения: \[a = 2 - b\]
4. Подставим a во второе уравнение: \[3(2 - b) + 4b = 7\] \[6 - 3b + 4b = 7\] \[b = 1\]
5. Найдем a: \[a = 2 - 1 = 1\]
6. Вернемся к исходным переменным: \[\begin{cases} \frac{1}{x+y} = 1 \\ \frac{1}{x-y} = 1 \end{cases}\] \[\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}\]
7. Сложим оба уравнения: \[2x = 2\] \[x = 1\]
8. Найдем y: \[1 + y = 1\] \[y = 0\]

Ответ: x = 1, y = 0