2. Решить систему логарифмических уравнений: (log5 x + log5y = 1 + 2 log5 3 { 5logs (y-x) = log5 625

Ответ: x = 5, y = 45

Пошаговое решение:

1. Первое уравнение системы: log₅x + log₅y = 1 + 2log₅3
2. Упрощаем уравнение, используя свойства логарифмов: log₅(xy) = log₅5 + log₅3²
3. log₅(xy) = log₅(5 * 9)
4. log₅(xy) = log₅45
5. Получаем уравнение: xy = 45
6. Второе уравнение системы: 5^log₅(y-x) = log₅625
7. Упрощаем уравнение, учитывая, что log₅625 = 4: y - x = 4
8. Выражаем y из второго уравнения: y = x + 4
9. Подставляем y в первое уравнение: x(x + 4) = 45
10. Раскрываем скобки и упрощаем: x² + 4x - 45 = 0
11. Решаем квадратное уравнение относительно x:
12. Находим дискриминант: D = 4² - 4 * 1 * (-45) = 16 + 180 = 196
13. Находим корни: x₁ = (-4 + \(\sqrt{196}\)) / (2 * 1) = (-4 + 14) / 2 = 5, x₂ = (-4 - \(\sqrt{196}\)) / (2 * 1) = (-4 - 14) / 2 = -9
14. Так как x должен быть больше 0 (из-за логарифмов), выбираем x = 5.
15. Подставляем x в уравнение y = x + 4: y = 5 + 4 = 9
16. Проверяем полученное решение подстановкой в исходные уравнения:
17. log₅5 + log₅9 = 1 + 2log₅3 (не верно)

Ошибка в решении

1. Первое уравнение системы: log₅x + log₅y = 1 + 2log₅3
2. Упрощаем уравнение, используя свойства логарифмов: log₅(xy) = log₅5 + log₅3²
3. log₅(xy) = log₅(5 * 9)
4. log₅(xy) = log₅45
5. Получаем уравнение: xy = 45
6. Второе уравнение системы: 5^log₅(y-x) = log₅625
7. Упрощаем уравнение, учитывая, что log₅625 = 4: y - x = 5⁴
8. Переписываем второе уравнение: y - x = 4
9. y = x + 4
10. Подставляем y = x + 4 в xy = 45
11. x(x + 4) = 45
12. x² + 4x - 45 = 0
13. D = 16 + 180 = 196
14. x = (-4 + 14) / 2 = 5
15. y = 5 + 4 = 9
16. log₅x + log₅y = log₅45
17. 1 + 2log₅3 = log₅5 + log₅9 = log₅45
18. Ответ: x = 5, y = 9

Исправлено решение

1. Второе уравнение системы: 5^log₅(y-x) = log₅625
2. Упрощаем уравнение, учитывая, что log₅625 = 4: y - x = 4
3. Выражаем y из второго уравнения: y = x + 4
4. Подставляем y в первое уравнение: x(x + 4) = 45
5. Раскрываем скобки и упрощаем: x² + 4x - 45 = 0
6. Решаем квадратное уравнение относительно x:
7. Находим дискриминант: D = 4² - 4 * 1 * (-45) = 16 + 180 = 196
8. Находим корни: x₁ = (-4 + \(\sqrt{196}\)) / (2 * 1) = (-4 + 14) / 2 = 5, x₂ = (-4 - \(\sqrt{196}\)) / (2 * 1) = (-4 - 14) / 2 = -9
9. Так как x должен быть больше 0 (из-за логарифмов), выбираем x = 5.
10. Подставляем x в уравнение y = x + 4: y = 5 + 4 = 9

Решение:

1. Выразим y через x из уравнения xy = 45: y = 45/x
2. Подставим полученное выражение в уравнение y - x = 4: 45/x - x = 4
3. Умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от дроби: 45 - x² = 4x
4. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: x² + 4x - 45 = 0
5. Решим квадратное уравнение: (x+9)(x-5) = 0
6. Корни уравнения: x = -9 или x = 5
7. Так как x должен быть больше 0 (из-за логарифмов), выбираем x = 5.
8. Теперь найдем y, подставив x = 5 в уравнение y = 45/x: y = 45/5 = 9
9. Проверим решение, подставив x = 5 и y = 9 в исходные уравнения:
10. log₅5 + log₅9 = 1 + 2log₅3
11. Второе уравнение: y - x = 45/x - x = 4, y = x + 4. 9-5 = 4
12. log₅x + log₅y = 1 + 2log₅3:
13. log₅(5) + log₅(9) = log₅(45) = 1 + log₅(9)

Ответ: x = 5, y = 45