Разложите на множители: 1) b³ - 8c³; 2) 49x²y - y³; 3) -7a² + 14a - 7; 4) 5ab - 15b - 5a + 15; 5) a⁴ - 1.

Решение:

1. 1) b³ - 8c³
   Это разность кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). Здесь a = b, b = 2c.
   \[ b^3 - (2c)^3 = (b - 2c)(b^2 + b \cdot 2c + (2c)^2) = (b - 2c)(b^2 + 2bc + 4c^2) \]
2. 2) 49x²y - y³
   Сначала вынесем общий множитель y.
   \[ y(49x^2 - y^2) \]Теперь в скобках разность квадратов: (7x)² - y².
   \[ y((7x)^2 - y^2) = y(7x - y)(7x + y) \]
3. 3) -7a² + 14a - 7
   Вынесем общий множитель -7.
   \[ -7(a^2 - 2a + 1) \]Выражение в скобках - это квадрат разности: (a - 1)².
   \[ -7(a - 1)^2 \]
4. 4) 5ab - 15b - 5a + 15
   Сгруппируем слагаемые.
   \[ (5ab - 15b) + (-5a + 15) \]Вынесем общие множители из каждой группы.
   \[ 5b(a - 3) - 5(a - 3) \]Теперь вынесем общий множитель (a - 3).
   \[ (a - 3)(5b - 5) \]Можно еще вынести 5 из второй скобки.
   \[ 5(a - 3)(b - 1) \]
5. 5) a⁴ - 1
   Это разность квадратов: (a²)² - 1².
   \[ (a^2)^2 - 1^2 = (a^2 - 1)(a^2 + 1) \]Выражение (a² - 1) снова является разностью квадратов: a² - 1².
   \[ (a - 1)(a + 1)(a^2 + 1) \]

Ответ:

• 1) (b - 2c)(b² + 2bc + 4c²)
• 2) y(7x - y)(7x + y)
• 3) -7(a - 1)²
• 4) 5(a - 3)(b - 1)
• 5) (a - 1)(a + 1)(a² + 1)