Докажите, что выражение x² - 14x + 51 принимает положительные значения при всех значениях х.

Решение:

1. Преобразуем выражение: Выделим полный квадрат из данного квадратного трехчлена.
2. x² - 14x + 51 = (x² - 14x + 49) + 2.
3. Используем формулу квадрата суммы: x² - 14x + 49 = (x - 7)².
4. Получаем: (x - 7)² + 2.
5. Анализ:
• Квадрат любого действительного числа (x - 7)² всегда неотрицателен, то есть (x - 7)² ≥ 0.
• Следовательно, (x - 7)² + 2 ≥ 0 + 2, что означает (x - 7)² + 2 ≥ 2.
6. Вывод: Минимальное значение выражения равно 2 (когда x = 7), и оно всегда положительно.

Доказано.