20 Расстояние между пристанями А и В равно 88 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправился катер, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернул обратно и возвратился в А. К этому времени плот прошёл 31,5 км. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ: 19

Пусть $$v$$ - скорость катера в стоячей воде. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Расстояние между пристанями А и В равно 88 км.

Плот двигался со скоростью течения реки $$v_p = 3$$ км/ч.

Пусть $$t$$ - время движения плота с момента отправления катера до момента возвращения катера в А.

Тогда $$3t = 31.5$$, отсюда $$t = 10.5$$ часов.

Катер вышел через 1 час после плота, значит, время движения катера до момента его возвращения в А равно $$t-1=10.5-1=9.5$$ часов.

Время движения катера из А в В равно $$\frac{88}{v+3}$$, время движения катера из В в А равно $$\frac{88}{v-3}$$.

Суммарное время движения катера $$\frac{88}{v+3} + \frac{88}{v-3} = 9.5$$

$$88(v-3) + 88(v+3) = 9.5(v^2-9)$$,

$$88v - 264 + 88v + 264 = 9.5v^2 - 85.5$$

$$176v = 9.5v^2 - 85.5$$

$$9.5v^2 - 176v - 85.5 = 0$$

$$v = \frac{176 \pm \sqrt{176^2 - 4(9.5)(-85.5)}}{2(9.5)} = \frac{176 \pm \sqrt{30976 + 3249}}{19} = \frac{176 \pm \sqrt{34225}}{19} = \frac{176 \pm 185}{19}$$

$$v_1 = \frac{176 + 185}{19} = \frac{361}{19} = 19$$

$$v_2 = \frac{176 - 185}{19} = \frac{-9}{19} < 0$$. Не подходит.

Скорость катера в стоячей воде равна 19 км/ч.

Ответ: 19