2 Прямые заданы уравнениями 3x + 2y - 9 = 0, y + 3 = 0. а) Начертите эти прямые в одной системе координат. б) Найдите координаты точки пере- сечения этих прямых. в) Найдите площадь треугольника, образованными этими прямыми и осью ординат.

Решение:

а) Построим прямые:

1) 3x + 2y - 9 = 0. Выразим y через x:

\[2y = -3x + 9\] \[y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}\]

Найдем две точки для построения прямой:

• Если x = 1, то y = (-3/2)*1 + 9/2 = 6/2 = 3. Точка (1; 3)
• Если x = 3, то y = (-3/2)*3 + 9/2 = 0. Точка (3; 0)

2) y + 3 = 0

\[y = -3\]

Это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0; -3).

б) Найдем координаты точки пересечения прямых:

Так как y = -3, подставим это значение в первое уравнение:

\[3x + 2(-3) - 9 = 0\] \[3x - 6 - 9 = 0\] \[3x = 15\] \[x = 5\]

Точка пересечения: (5; -3)

в) Найдем площадь треугольника, образованного этими прямыми и осью ординат. Ось ординат - прямая x = 0.

Треугольник образуют точки пересечения прямых и точки пересечения каждой прямой с осью OY.

• Точка пересечения прямых: (5; -3)
• Пересечение прямой 3x + 2y - 9 = 0 с осью OY (x = 0): 2y - 9 = 0 => y = 9/2 = 4.5. Точка (0; 4.5)
• Пересечение прямой y = -3 с осью OY: Точка (0; -3)

Основание треугольника - расстояние между точками (0; 4.5) и (0; -3):

\[|4.5 - (-3)| = 7.5\]

Высота треугольника - расстояние от точки (5; -3) до оси OY, т.е. |5 - 0| = 5.

\[S = \frac{1}{2} \cdot 7.5 \cdot 5 = \frac{37.5}{2} = 18.75\]

Ответ:

• а) Прямые построены (см. решение)
• б) Точка пересечения прямых: (5; -3)
• в) Площадь треугольника: 18.75

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что прямые построены верно, координаты точки пересечения и площадь треугольника вычислены правильно.

База: Площадь треугольника можно найти, зная координаты вершин, используя формулу через определитель.