прямоугольного треугольника. Запишите формулы соотношений, основ тригонометрическое тождество. Назовите значения синуса, косинуса и енсов углов 30°, 45°, 60°. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных фигур. Задача.

Задание 1: Основное тригонометрическое тождество и значения углов.

1. Основное тригонометрическое тождество:

   Для любого угла α верно равенство:

   \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

2. Значения тригонометрических функций для углов 30°, 45°, 60°:

Задание 2: Теорема об отношении площадей подобных фигур.

Формулировка: Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство (для треугольников):

1. Пусть даны два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁ с коэффициентом подобия k. Это значит, что их соответствующие стороны относятся как k:
• \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k \]
2. Пусть $$h$$ и $$h_1$$ — высоты, проведенные к соответствующим сторонам $$AC$$ и $$A_1C_1$$. Так как треугольники подобны, то и треугольники, образованные высотой и сторонами, также подобны. Следовательно, отношение высот также равно коэффициенту подобия:
• \[ \frac{h}{h_1} = k \]
3. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:
• \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} · AC · h \]
• \[ S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} · A_1C_1 · h_1 \]
4. Найдем отношение площадей:
• \[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{\frac{1}{2} · AC · h}{\frac{1}{2} · A_1C_1 · h_1} = \frac{AC}{A_1C_1} · \frac{h}{h_1} = k · k = k^2 \]
5. Таким образом, отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Теорема доказана.