Билет № 12 1) Дайте определение окружности, описанной около многоугольника; многоугольника, вписанного в окружность. Сформулируйте свойство четырехугольника, вписанного в окружность. 2) Сформулируйте и докажите свойство отрезков пересекающихся х 3) Задача.

Билет № 12

1. Описанная и вписанная окружности.

• Окружность, описанная около многоугольника: Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все вершины этого многоугольника.
• Многоугольник, вписанный в окружность: Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности.
• Свойство четырехугольника, вписанного в окружность: Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

2. Свойство отрезков пересекающихся хорд.

• Формулировка: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
• Доказательство:

1. Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке O.
2. Рассмотрим треугольники AOC и DOB.
3. Угол AOC равен углу DOB как вертикальные.
4. Угол CAO равен углу BDO, так как они опираются на одну и ту же дугу BC (вписанные углы).
5. Следовательно, треугольники AOC и DOB подобны по двум углам (первый признак подобия).
6. Из подобия следует отношение соответствующих сторон:
• \[ \frac{AO}{DO} = \frac{OC}{OB} \]
7. Перемножим крест-накрест:
• \[ AO · OB = DO · OC \]
8. Таким образом, произведение отрезков одной хорды (AO · OB) равно произведению отрезков другой хорды (DO · OC).

3. Задача.

(Для решения этой части необходима конкретная задача, которая не была предоставлена в исходном изображении.)