5.476 Проверьте равенства: \(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})\), докажите: \(\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\frac{1}{7\cdot9}+\frac{1}{9\cdot11}+\frac{1}{11\cdot13}=\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{1}-\frac{1}{13})\); и т. д. Используя эти равенства, докажите: \(\frac{1}{11\cdot13}+\frac{1}{13\cdot15}=\frac{2}{15}\)

Проверим первое равенство: \(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})\)

Левая часть: \(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}\)

Правая часть: \(\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\frac{1}{2}\cdot(\frac{5}{15}-\frac{3}{15})=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{15}=\frac{1}{15}\)

Равенство верно.

Докажем равенство: \(\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\frac{1}{7\cdot9}+\frac{1}{9\cdot11}+\frac{1}{11\cdot13}=\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{1}-\frac{1}{13})\)

Используя первое равенство, каждое слагаемое можно представить как:

\(\frac{1}{1\cdot3}=\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})\)

\(\frac{1}{3\cdot5}=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})\)

\(\frac{1}{5\cdot7}=\frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})\)

\(\frac{1}{7\cdot9}=\frac{1}{2}(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})\)

\(\frac{1}{9\cdot11}=\frac{1}{2}(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})\)

\(\frac{1}{11\cdot13}=\frac{1}{2}(\frac{1}{11}-\frac{1}{13})\)

Тогда левая часть равенства примет вид:

\(\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+ \frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+ \frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+ \frac{1}{2}(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})+ \frac{1}{2}(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})+ \frac{1}{2}(\frac{1}{11}-\frac{1}{13})\)

Вынесем \(\frac{1}{2}\) за скобку:

\(\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{13})=\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{13})\)

Что и требовалось доказать.

Докажем равенство: \(\frac{1}{11\cdot13}+\frac{1}{13\cdot15}=\frac{2}{15}\)

Представим каждое слагаемое как:

\(\frac{1}{11\cdot13}=\frac{1}{2}(\frac{1}{11}-\frac{1}{13})\)

\(\frac{1}{13\cdot15}=\frac{1}{2}(\frac{1}{13}-\frac{1}{15})\)

Левая часть равна:

\(\frac{1}{2}(\frac{1}{11}-\frac{1}{13})+\frac{1}{2}(\frac{1}{13}-\frac{1}{15})=\frac{1}{2}(\frac{1}{11}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15})=\frac{1}{2}(\frac{1}{11}-\frac{1}{15})=\frac{1}{2}(\frac{15-11}{165})=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{165}=\frac{2}{165}\)

Правая часть:

\(\frac{1}{2}(\frac{1}{11}-\frac{1}{13})+\frac{1}{2}(\frac{1}{13}-\frac{1}{15})=\frac{1}{2}(\frac{1}{11}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15})=\frac{1}{2}(\frac{1}{11}-\frac{1}{15})=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{165}=\frac{2}{165}\)

Равенство неверно, так как \(\frac{2}{165}
eq \frac{2}{15}\)

Ответ: Первые два равенства верны, третье - неверно.