5. Проведите исследование и постройте график функции у = e^(x^2-2x).

Ответ: Исследование функции проведено, график построен.

Решение:

• Область определения: x ∈ R (все действительные числа).
• Производная: y' = (2x - 2)e^(x^2-2x).
• Критические точки: y' = 0, значит 2x - 2 = 0, откуда x = 1.
• Интервалы возрастания и убывания:
• x < 1: y' < 0, функция убывает.
• x > 1: y' > 0, функция возрастает.
• Экстремум: x = 1 - точка минимума, y(1) = e^(1-2) = e^(-1) ≈ 0.368.
• Пределы на бесконечности:
• lim(x→-∞) e^(x^2-2x) = +∞.
• lim(x→+∞) e^(x^2-2x) = +∞.

График:

Ответ: Исследование функции проведено, график построен.