6. Найдите решение уравнения у' = -5у, удовлетворяющее условию у(0) = 3.

Ответ: y = 3e^(-5x)

Решение:

Дано дифференциальное уравнение y' = -5y. Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Разделим переменные: dy/dx = -5y

dy/y = -5dx

Интегрируем обе части: ∫(dy/y) = ∫(-5dx)

ln|y| = -5x + C

y = e^(-5x + C) = e^C * e^(-5x)

Обозначим e^C = A (где A - константа)

y = Ae^(-5x)

Теперь используем начальное условие y(0) = 3:

3 = Ae^(-5*0) = A*e^0 = A

A = 3

Итак, решение уравнения:

y = 3e^(-5x)

Ответ: y = 3e^(-5x)