7. При каких значениях параметра b уравнение х²-(2b-1)x+b²-b-2=0 А) (2 балла) имеет хотя бы два различных корня? Б) (2 балла) имеет ровно два различных положительных корня?

Ответ: А) b < -1 или b > 3; Б) 3 < b ≤ 9/4

А) Уравнение имеет хотя бы два различных корня

1. Шаг 1: Запишем условие существования двух различных корней. Для квадратного уравнения \[ax^2 + bx + c = 0\]дискриминант должен быть больше нуля: \[D > 0\]В нашем случае: \[D = (2b-1)^2 - 4(b^2-b-2) > 0\]
2. Шаг 2: Решим неравенство: \[4b^2 - 4b + 1 - 4b^2 + 4b + 8 > 0\] \[9 > 0\]Так как дискриминант всегда больше нуля, уравнение всегда имеет два различных корня при любых значениях b.

Б) Уравнение имеет ровно два различных положительных корня

1. Шаг 1: Условие для двух положительных корней. Для двух положительных корней необходимо выполнение следующих условий: Дискриминант должен быть больше нуля (D > 0). Сумма корней должна быть больше нуля (x₁ + x₂ > 0). Произведение корней должно быть больше нуля (x₁ ⋅ x₂ > 0).
2. Шаг 2: Применим теорему Виета. Для уравнения \[x^2 - (2b-1)x + b^2-b-2 = 0\]сумма корней равна: \[x_1 + x_2 = 2b - 1\]Произведение корней равно: \[x_1 \cdot x_2 = b^2 - b - 2\]
3. Шаг 3: Запишем условия для положительных корней. \[D > 0 \Rightarrow 9 > 0 \text{ (всегда выполняется)}\] \[x_1 + x_2 > 0 \Rightarrow 2b - 1 > 0 \Rightarrow b > \frac{1}{2}\] \[x_1 \cdot x_2 > 0 \Rightarrow b^2 - b - 2 > 0 \Rightarrow (b-2)(b+1) > 0\] Решением последнего неравенства является \[b < -1 \text{ или } b > 2\]
4. Шаг 4: Объединим условия. Чтобы все условия выполнялись одновременно, нужно найти пересечение решений: \[b > \frac{1}{2}\]и \[b < -1 \text{ или } b > 2\] Таким образом, окончательное решение: \[b > 2\]

Ответ: А) b > 2; Б) b > 2