8. (4 балла) BD - биссектриса в треугольнике АВС. На прямую ВД из точки С опущен перпендикуляр, основанием которого является точка Н такая, что угол ∠DHC = 90°. Докажите, что площадь треугольника АВН равна половине площади треугольника АВС.

Ответ: Доказано

1. Шаг 1: Обозначим точку пересечения CH и AB как K.
2. Шаг 2: Так как BD - биссектриса, то ∠ABD = ∠CBD.
3. Шаг 3: Поскольку CH ⊥ BD, то ∠CHD = 90°.
4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник BHC. Так как ∠CHD = 90°, то CH - высота треугольника BHC.
5. Шаг 5: Рассмотрим треугольники BDK и HDK. У них BD = HD (так как BD - биссектриса и высота), ∠BDK = ∠HDK = 90°, DK - общая сторона. Следовательно, ΔBDK = ΔHDK по двум сторонам и углу между ними.
6. Шаг 6: Из равенства треугольников следует, что BK = HK.
7. Шаг 7: Теперь рассмотрим треугольники ABH и CBH. У них общая высота BH. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
8. Шаг 8: Площадь треугольника ABH равна S(ABH) = (1/2) * AH * BH.
9. Шаг 9: Площадь треугольника CBH равна S(CBH) = (1/2) * CH * BH.
10. Шаг 10: Так как S(ABC) = S(ABH) + S(CBH), и нам нужно доказать, что S(ABH) = (1/2) * S(ABC), то нужно показать, что S(ABH) = S(CBH).
11. Шаг 11: Поскольку BK = HK, то точка K - середина отрезка BH.
12. Шаг 12: Таким образом, AK - медиана треугольника ABH, а CK - медиана треугольника CBH.
13. Шаг 13: Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Следовательно, S(AKH) = S(BKH) и S(CKH) = S(BKH).
14. Шаг 14: Теперь, S(ABH) = S(AKH) + S(BKH) = 2 * S(BKH), а S(CBH) = S(CKH) + S(BKH) = 2 * S(BKH).
15. Шаг 15: Следовательно, S(ABH) = S(CBH).
16. Шаг 16: Таким образом, S(ABC) = S(ABH) + S(CBH) = S(ABH) + S(ABH) = 2 * S(ABH).
17. Шаг 17: Отсюда, S(ABH) = (1/2) * S(ABC).

Ответ: Доказано