При каких значениях b сумма дробей $$\frac{2b + 1}{b+3}$$ и $$\frac{b + 3}{b-1}$$ равна дроби $$\frac{9+7b}{b²+2b-3}$$?

Задача: Найти значения переменной, при которых сумма двух дробей равна третьей дроби.

ПРОТОКОЛ: Алгебра, решение уравнений.

1. $$\frac{2b + 1}{b+3} + \frac{b + 3}{b-1} = \frac{9+7b}{b^2+2b-3}$$
2. Разложим знаменатель правой части: $$b^2 + 2b - 3 = (b+3)(b-1)$$
3. $$\frac{2b + 1}{b+3} + \frac{b + 3}{b-1} = \frac{7b+9}{(b+3)(b-1)}$$
4. Приведем к общему знаменателю левую часть:
5. $$\frac{(2b+1)(b-1) + (b+3)(b+3)}{(b+3)(b-1)} = \frac{7b+9}{(b+3)(b-1)}$$
6. Раскроем скобки в числителе:
7. $$\frac{2b^2 - 2b + b - 1 + b^2 + 6b + 9}{(b+3)(b-1)} = \frac{7b+9}{(b+3)(b-1)}$$
8. Приведем подобные слагаемые:
9. $$\frac{3b^2 + 5b + 8}{(b+3)(b-1)} = \frac{7b+9}{(b+3)(b-1)}$$
10. Т.к. знаменатели равны, то приравняем числители:
11. $$3b^2 + 5b + 8 = 7b + 9$$
12. $$3b^2 - 2b - 1 = 0$$
13. Решим квадратное уравнение:
14. $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$$
15. $$b_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{6} = \frac{2 + 4}{6} = 1$$
16. $$b_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{6} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}$$
17. Проверим, что знаменатель не равен нулю:
18. $$b+3
    eq 0 \Rightarrow b
    eq -3$$
19. $$b-1
    eq 0 \Rightarrow b
    eq 1$$
20. Значит, $$b = 1$$ не является решением.

Ответ: $$b = -\frac{1}{3}$$