Постройте график функции y = x²-|4x+1|. Определите, при каких значениях m прямая у=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию \(y = x^2 - |4x + 1|\).

График данной функции можно построить, рассмотрев два случая:

1. Если \(4x + 1 \geq 0\), то есть \(x \geq -\frac{1}{4}\), тогда \(y = x^2 - (4x + 1) = x^2 - 4x - 1\).
2. Если \(4x + 1 < 0\), то есть \(x < -\frac{1}{4}\), тогда \(y = x^2 + (4x + 1) = x^2 + 4x + 1\).

Для первого случая, \(y = x^2 - 4x - 1 = (x - 2)^2 - 5\). Вершина параболы в точке \((2, -5)\).

Для второго случая, \(y = x^2 + 4x + 1 = (x + 2)^2 - 3\). Вершина параболы в точке \((-2, -3)\).

Соединяя эти графики, нужно учесть, что при \(x = -\frac{1}{4}\) значения обеих функций должны совпадать. При \(x = -\frac{1}{4}\) имеем:

\[y = \left(-\frac{1}{4}\right)^2 - 4\left(-\frac{1}{4}\right) - 1 = \frac{1}{16} + 1 - 1 = \frac{1}{16}\]

\[y = \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 4\left(-\frac{1}{4}\right) + 1 = \frac{1}{16} - 1 + 1 = \frac{1}{16}\]

Прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки, когда она касается одной из вершин параболы или проходит через точку излома. В данном случае это происходит при \(m = -3\) и при \(m = -5\).

Ответ: -5; -3

Проверка за 10 секунд: m = -5 и m = -3, когда прямая пересекает график в трех точках.

Доп. профит: Уровень Эксперт – понимание графиков функций с модулем и их свойств.