22 Постройте график функции у = х²-4|х|-х и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Рассмотрим функцию $$y = x^2 - 4|x| - x$$.

При $$x \geq 0$$, $$|x| = x$$, и функция принимает вид $$y = x^2 - 4x - x = x^2 - 5x$$.

При $$x < 0$$, $$|x| = -x$$, и функция принимает вид $$y = x^2 + 4x - x = x^2 + 3x$$.

Таким образом, график функции состоит из двух частей:

• $$y = x^2 - 5x$$ при $$x \geq 0$$.
• $$y = x^2 + 3x$$ при $$x < 0$$.

Найдем вершину параболы $$y = x^2 - 5x$$.

Абсцисса вершины: $$x_в = \frac{-(-5)}{2(1)} = \frac{5}{2} = 2.5$$.

Ордината вершины: $$y_в = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25$$.

Найдем вершину параболы $$y = x^2 + 3x$$.

Абсцисса вершины: $$x_в = \frac{-3}{2(1)} = -\frac{3}{2} = -1.5$$.

Ордината вершины: $$y_в = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$$.

Теперь рассмотрим прямую $$y = m$$. Эта прямая горизонтальна.

Чтобы прямая $$y = m$$ имела с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек, необходимо, чтобы $$m$$ находилось в диапазоне от $$ -6.25$$ до $$ -2.25$$ и $$m$$ не равнялось $$0$$.

При $$m = -6.25$$ прямая касается параболы в одной точке. При $$m = -2.25$$ прямая касается другой параболы в одной точке. Прямая $$y = 0$$ пересекает график в точках $$x = 0$$, $$x = 5$$ и $$x = -3$$, т.е. имеет три общие точки.

Таким образом, при значениях $$m \in (-6.25; -2.25)$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Ответ: $$m \in (-6.25; -2.25)$$