25 Основания трапеции относятся как 1:2. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая трапеции?

Пусть ABCD - трапеция с основаниями AD и BC, такими что AD = 2x и BC = x.

Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD.

Пусть EF - прямая, проходящая через точку O параллельно основаниям AD и BC.

Нужно найти отношение, в котором EF делит площадь трапеции ABCD.

Треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (вертикальные углы при пересечении диагоналей и внутренние накрест лежащие углы при параллельных основаниях и секущей).

Коэффициент подобия равен $$\frac{BC}{AD} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$$.

Пусть h1 - высота треугольника BOC, h2 - высота треугольника DOA. Тогда $$\frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{2}$$.

Пусть h - высота трапеции ABCD. Тогда h = h1 + h2.

Так как $$h_1 = \frac{1}{2}h_2$$, то $$h = \frac{1}{2}h_2 + h_2 = \frac{3}{2}h_2$$, и $$h_2 = \frac{2}{3}h$$, $$h_1 = \frac{1}{3}h$$.

Длина отрезка EF равна среднему гармоническому длин оснований AD и BC:

$$EF = \frac{2 \cdot AD \cdot BC}{AD + BC} = \frac{2 \cdot 2x \cdot x}{2x + x} = \frac{4x^2}{3x} = \frac{4}{3}x$$

Площадь трапеции ABCD равна:

$$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} h = \frac{2x + x}{2} h = \frac{3}{2}xh$$

Пусть M - точка пересечения EF с AB, N - точка пересечения EF с CD.

Треугольники ABOD подобен треугольнику CBO

Ответ: