3. Постройте график функции у = −x² − 4x + 5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Question

Вопрос:

3. Постройте график функции у = −x² − 4x + 5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение:

Чтобы построить график функции y = -x² - 4x + 5 и найти её характеристики, нужно определить вершину параболы, нули функции и направление ветвей.

Разбираемся:

Находим вершину параболы:

Функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a = -1, b = -4, c = 5.

Координата x вершины параболы: x_вершины = -b / (2a) = -(-4) / (2 * (-1)) = 4 / (-2) = -2

Координата y вершины параболы: y_вершины = -(-2)² - 4 * (-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9

Вершина параболы находится в точке (-2; 9).

Находим нули функции (точки пересечения с осью x):

Решаем уравнение -x² - 4x + 5 = 0

Показать пошаговые вычисления

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы упростить его:

x² + 4x - 5 = 0

Используем теорему Виета или дискриминант для нахождения корней.

По теореме Виета: x₁ + x₂ = -4, x₁ * x₂ = -5

Подбираем корни: x₁ = 1, x₂ = -5

Проверяем: 1 + (-5) = -4, 1 * (-5) = -5

Нули функции: x₁ = 1, x₂ = -5

Определяем направление ветвей параболы:

Поскольку коэффициент при x² (a = -1) отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

Теперь, когда у нас есть основная информация, можем ответить на вопросы:

а) Область определения и область значения:

Область определения: все действительные числа, x ∈ \((-\infty; +\infty)\).

Область значения: y ≤ 9, то есть y ∈ \((-\infty; 9]\).

б) Нули функции:

Нули функции: x₁ = 1, x₂ = -5.

в) Промежутки знакопостоянства:

y > 0 (функция положительна) при -5 < x < 1.

y < 0 (функция отрицательна) при x < -5 и x > 1.

г) Промежутки возрастания и убывания:

Функция возрастает при x < -2.

Функция убывает при x > -2.

д) Наименьшее и наибольшее значения функции:

Наибольшее значение функции: y = 9 (в вершине параболы при x = -2).

Наименьшего значения функция не имеет, так как ветви параболы направлены вниз и функция уходит в минус бесконечность.

Проверка за 10 секунд: Вершина параболы (-2; 9), нули функции 1 и -5, ветви направлены вниз. Область определения: все числа, область значений: y ≤ 9.

Уровень эксперт: Используйте производную для нахождения точек экстремума и интервалов монотонности функции, чтобы точно определить промежутки возрастания и убывания.

Ответ:

Похожие