4. Периметр треугольника MNK равен 64 см, NK = 24 см, а МК в 1,5 раза меньше MN. Докажите, что ДМ = ∠K.

Пусть x – длина стороны MN, тогда \(\frac{x}{1.5}\) – длина стороны MK.

Периметр треугольника равен сумме длин всех сторон.

Составим уравнение, зная, что периметр равен 64 см, NK = 24 см:

$$MN + NK + MK = 64$$

$$x + 24 + \frac{x}{1.5} = 64$$

$$x + \frac{2x}{3} = 40$$

Приведем подобные слагаемые:

$$\frac{5x}{3} = 40$$

$$x = \frac{40 \cdot 3}{5}$$

$$x = 8 \cdot 3$$

$$x = 24$$

Значит, сторона MN равна 24 см.

$$MK = \frac{24}{1.5} = 16$$ см.

Длины сторон треугольника: MN = 24 см, NK = 24 см, MK = 16 см.

Так как MN = NK, то треугольник MNK – равнобедренный, углы при основании равны, то есть ∠M = ∠K.

Ответ: Треугольник MNK – равнобедренный, углы при основании равны, то есть ∠M = ∠K.