Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ раз на 6 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b - стороны прямоугольника.

Периметр прямоугольника:

$$2(a+b)=14$$ $$a+b=7$$

Диагональ прямоугольника равна 6 см. По теореме Пифагора:

$$a^2 + b^2 = 6^2$$ $$a^2 + b^2 = 36$$

Выразим a из первого уравнения:

$$a = 7 - b$$

Подставим во второе уравнение:

$$(7 - b)^2 + b^2 = 36$$ $$49 - 14b + b^2 + b^2 = 36$$ $$2b^2 - 14b + 13 = 0$$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$$D = (-14)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 13 = 196 - 104 = 92$$

Найдем корни уравнения:

$$b_1 = \frac{14 + \sqrt{92}}{4} = \frac{14 + 2\sqrt{23}}{4} = \frac{7 + \sqrt{23}}{2}$$ $$b_2 = \frac{14 - \sqrt{92}}{4} = \frac{14 - 2\sqrt{23}}{4} = \frac{7 - \sqrt{23}}{2}$$

Найдем соответствующие значения a:

$$a_1 = 7 - b_1 = 7 - \frac{7 + \sqrt{23}}{2} = \frac{14 - 7 - \sqrt{23}}{2} = \frac{7 - \sqrt{23}}{2}$$ $$a_2 = 7 - b_2 = 7 - \frac{7 - \sqrt{23}}{2} = \frac{14 - 7 + \sqrt{23}}{2} = \frac{7 + \sqrt{23}}{2}$$

Итак, стороны прямоугольника:

$$a = \frac{7 - \sqrt{23}}{2} \approx 1.60 \text{ см}$$ $$b = \frac{7 + \sqrt{23}}{2} \approx 5.40 \text{ см}$$

Ответ: Стороны прямоугольника приблизительно равны 1.60 см и 5.40 см.