Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение:

1. Обозначим стороны прямоугольника как a и b. Периметр равен 14 см, значит:
\[2(a + b) = 14\] \[a + b = 7\]
2. Диагональ равна 5 см. По теореме Пифагора:
\[a^2 + b^2 = 5^2\] \[a^2 + b^2 = 25\]
3. Выразим b через a из первого уравнения:
\[b = 7 - a\]
4. Подставим это выражение во второе уравнение:
\[a^2 + (7 - a)^2 = 25\] \[a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25\] \[2a^2 - 14a + 24 = 0\] \[a^2 - 7a + 12 = 0\]
5. Решим квадратное уравнение относительно a:
\[D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\] \[a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2} = 4\] \[a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2} = 3\]
6. Найдем соответствующие значения b:
\[b_1 = 7 - a_1 = 7 - 4 = 3\] \[b_2 = 7 - a_2 = 7 - 3 = 4\]
7. Таким образом, стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.
8. Площадь прямоугольника:
\[S = a \cdot b = 3 \cdot 4 = 12\]