14(17) Паша написал пять натуральных (необязательно различных) чисел, а потом Лена вычислила все возможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 43, 54 и 65. Посмотрев на полученные Леной значения, Петя смог точно назвать наибольшее из написанных Пашей чисел. Какое это число?

Пусть пять чисел: a, b, c, d, e (a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e).

Тогда наименьшая сумма: a + b = 43.

Наибольшая сумма: d + e = 65.

Средняя сумма: c + ? = 54.

Суммы попарно: 43, 54, 65.

a + b = 43 (1)

d + e = 65 (2)

Возможные варианты:

• a + c = 43, b + d = 54, c + e = 65
• a + b = 43, c + d = 54, d + e = 65

Предположим, что числа такие: a, b, c, d, e

a + b = 43

a + c = 43

a + d = 54

a + e = 54

b + c = 54

b + d = 54

b + e = 65

c + d = 65

c + e = 65

d + e = 65

Рассмотрим вариант, когда у нас есть два минимальных числа (a и b) и два максимальных числа (d и e).

a + b = 43

d + e = 65

c + d = 54 (например)

Если все числа различны, то должно быть 10 различных сумм, а у нас их всего три.

Значит, есть повторяющиеся числа.

a + b = 43

d + e = 65

c = x

a, b < x < d, e

Пусть a = b. Тогда 2a = 43, a = 21.5 (не целое, не подходит).

Пусть d = e. Тогда 2d = 65, d = 32.5 (не целое, не подходит).

Значит, должны быть другие комбинации.

a + b = 43

a + c = 43

b + c = 54

c + d = 54

d + e = 65

c + e = 65

a = b = (43 - x)

a + b + c + d + e = ?

Из a+b = 43 и d+e = 65: если a=b, то 2a=43 (не подходит, т.к. не целое)

Если a+b = 43 и a+c = 54 и a+d = 65, то b,c,d > a, но d+e = 65, => e не > d

Т.е. числа: a, b, c, d, e

a+b = 43

c+b = 54

d+e = 65

a+c = 54 => a = 54-c

54-c+b = 43

c-b = 11

b+c = 54

2c = 65 c = 32.5

a+b = 43

a + c = 54

a+d = 54

d + e = 65

b + c = 54

c + d = 65

c+e = 65

a + b = 43 (1)

d + e = 65 (2)

a + c = 54, b+c = 54, c+d = 65, c+e = 65.

c+d+e = 65

Наибольшее число = 41

a+b=43 a+c = 54 d+e=65

Ответ: 41

Проверка за 10 секунд: Проверьте все возможные комбинации сумм, чтобы убедиться в правильности ответа.

Доп. профит: Уровень Эксперт. Задача требует глубокого анализа и умения работать с различными комбинациями чисел.